Хронология линейных матричных неравенств в анализе динамических систем возвращает нас более чем на 100 лет назад. История берет свое начало примерно в 1892 году, когда Ляпунов опубликовал свою работу, известную сейчас как теория Ляпунова. Он показал, что дифференциальное уравнение
(1.1)
устойчиво (то есть, все траектории стремятся к нулю), если и только если существует положительно-определенная матрица P такая, что
(1.2)
Требование ... которое мы теперь называем неравенством Ляпунова, является формой ЛМН. Ляпунов также показал, что это первое ЛМН могло бы быть точно решено. Действительно, мы можем подобрать некоторую симметричную матрицу Q и затем решить линейное уравнение для матрицы P, для которой гарантируют положительную определенность, если система (1.1) устойчива. Вкратце, первое ЛМН использованное для того, чтобы проанализировать стабильность динамической системы, было неравенство Ляпунова (1.2), которое может быть решено аналитически (при помощи решения некоторого числа линейных уравнений).
Следующее немаловажное событие происходит в 1940-ых. Лурье, Постников, и другие советские ученые нашли применение методов Ляпунова к некоторым практическим задачам в разработке систем управления, особенно, задаче стабильности системы управления с нелинейностью в виде силового воздействия. Хотя они и не являлись точной формой матричных неравенств, но критерии их устойчивости имеют форму линейных матричных неравенств. Эти неравенства преобразовали до полиномиальных неравенств, которые проверялись "вручную" (для, само собой разумеется, маленьких систем). Возможно, это было вызвано тем, что теория Ляпунова могла найти применение к важным (и трудным) практическим задачам в разработке систем управления. Из введения в книгу Лурье 1951 года, мы убеждаемся:
Эта книга представляет собой первую попытку продемонстрировать, что идеи, выраженные 60 лет назад Ляпуновым, которые даже сравнительно недавно, казалось, были далеки от практического применения, теперь становятся реальной почвой для исследования неотложных задач современной разработки.
Вкратце, Лурье и другие ученые были первыми, кто нашел применение методам Ляпунова к практическим задачам разработки систем управления. Линейные матричные неравенства, которые из этого вытекали, были решены аналитически, вручную. Конечно, это ограничило их применение к маленьким (второго, третьего порядка) системам.