До Ляпунова были установлены для однородной жидкости эллипсоидальные фигуры равновесия. Ляпунов впервые доказал существование фигур равновесия однородной и слабо неоднородной жидкости, близких к эллипсоидальным. Он установил, что от некоторых эллипсоидальных фигур равновесия ответвляются близкие к ним неэллипсоидальные фигуры равновесия однородной жидкости, а от других эллипсоидальных фигур равновесия ответвляются фигуры равновесия слабо неоднородной жидкости.
Ляпунов разрешил также задачу, предложенную ему еще в начале его научной деятельности П.Л. Чебышевым, о возможности ответвления от эллипсоидальной фигуры равновесия с наибольшей (возможной для эллипсоидов) угловой скоростью неэллипсоидальных фигур равновесия. Ответ получился отрицательным. Ляпунов впервые строго доказал существование близких к сфере фигур равновесия медленно вращающейся неоднородной жидкости при весьма общих предположениях об изменениях плотности с глубиной. Ляпунов занимался также исследованием устойчивости как эллипcоидальных фигур, так и открытых им новых фигур для случая однородной жидкости.
Сама постановка вопроса об устойчивости для сплошной среды (жидкость) до работ Ляпунова была неясной. Он впервые строго поставил вопрос и с помощью тонкого математического анализа провел исследование устойчивости фигур равновесия. В частности, он доказал неустойчивость так называемых грушевидных фигур равновесия и тем самым опроверг противоположное утверждение английского астронома Дж. Дарвина.
Цикл работ Ляпунова по фигурам равновесия вращающейся жидкости и устойчивости этих фигур занимает центральное место во всей теории фигур равновесия.